Cho hình vuông ABCD.Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh BI = DI.

Xét  ΔAED và ΔDCF ta có:

AD = CD (vì ABCD la hình vuông)  

AE = CF ( gt)

DEA^=DCF^=90° 

Do đó ΔAED = ΔCFD (cạnh – góc – cạnh)

Suy ra DE=DF  (1) (hai cạnh tương ứng) và ADE^=CDF^ (hai góc tương ứng).

Suy ra EDC^+CDF^=ADE^+EDC^

Hay EDF^=ADC^=90°   (2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔDEF vuông cân tại D.

Mà I là trung điểm của EF nên DI là đường trung tuyến ứng với EF.

Suy ra DI=IE=IF=12EF (định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông) (3)

Xét ΔBEF vuông tại B có BI là đường trung tuyến ứng với EF.

Suy ra BI=IE=IF=12EF (định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông) (4)

Từ (3) và (4) ta có DI = BI.

Vậy DI = BI.