Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a . Tích vô hướng −−→ AB ⋅ −−→ AC bằng

34/38

Cho hình vuông \(ABCD\) với độ dài cạnh bằng \(a\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \) bằng

\({a^2}\sqrt 2 \);

\(\frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }}\);

\({a^2}\);

\(\frac{{{a^2}}}{2}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Do \(ABCD\) là hình vuông nên đường chéo \(AC\) là phân giác của \(\widehat {BAD}\).

Suy ra \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \).

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = AB \cdot AC.\cos \widehat {BAC} = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = {a^2}\).