Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E
15/20
Cho hình vuông \(ABCD.\) Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\). Tia \(AE\) cắt đường thẳng \(CD\) tại \(M,\) tia \(DE\) cắt \(AB\) tại \(N\). GỌI \(O\) là giao điểm của \(BM\) và \(CN\).
Khi đó:
\(\frac{{NB}}{{CB}} = \frac{{BC}}{{CM}}.\)
\(\Delta NBC \sim \Delta BMC\).
\(\widehat {BCN} = \widehat {COM}.\)
\(BM \bot CN.\)
a) Đúng.
Ta có \(AB\parallel CM\) nên \(\frac{{AB}}{{CM}} = \frac{{EB}}{{EC}}\) (1)
\(NB\parallel CD\) nên \(\frac{{BN}}{{CD}} = \frac{{EB}}{{EC}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AB}}{{CM}} = \frac{{BN}}{{CD}}\).
Mà \(AB = BC = CD\) (do \(ABCD\) là hình vuông) nên \(\frac{{BC}}{{CM}} = \frac{{BN}}{{CB}}\).
b) Sai.
Có \(\frac{{BC}}{{CM}} = \frac{{BN}}{{CB}}\) và \(\widehat B = \widehat C = 90^\circ \) nên \(\Delta NBC \sim \Delta BCM\) (c.g.c).
c) Sai.
Từ phần a) có \(\widehat {BCN} = \widehat {CMB}\) hay \(\widehat {BCN} = \widehat {CMO}\).
d) Đúng.
Xét \(\Delta OCM\) có \(\widehat {CMO} + \widehat {MCO} = \widehat {BCN} + \widehat {MCO} = \widehat {BCM} = 90^\circ \).
Suy ra \(\widehat {MOC} = 90^\circ \) nên \(BM \bot CN.\)