Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB

a) Gọi I là trung điểm của MF.

Xét ∆CMF vuông tại C nên điểm C nằm trên đường tròn đường kính MF.

Do ABCD là hình vuông nên ∆MAF vuông tại A, do đó điểm A nằm trên đường tròn đường kính MF.

Khi đó, bốn điểm A, M, C, F cùng nằm trên đường tròn đường kính MF, do đó tứ giác AMCF nội tiếp đường tròn đường kính MF.

Suy ra  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MA) hay NCA^=MFN^.

Tương tự, ta chứng minh được tứ giác NACE nội tiếp đường tròn đường kính NE, nên NEA^=NCA^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NA).

b) Do ABCD là hình vuông nên AC là đường phân giác của BAD^, do đó BAC^=CAD^=12BAD^=12·90°=45° hay EAC^=45°

Ta có tứ giác NACE nội tiếp đường tròn nên  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC).

Mà NEC^=90° nên tam giác CEN vuông cân tại C.

Vì thế CN = CE.

Tương tự, tam giác CMF vuông cân tại C suy ra CM = CF.

Do đó CM+CN = CF+CE = EF.