Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy các điểm E và F sao cho BE = CF. Gọi M là giao điểm của AE và BF. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC và \(\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = 90^\circ \).

Xét ∆ABE vuông tại B và ∆BCF vuông tại C có:

AB = BC và BE = CF

Do đó ∆ABE = ∆BCF (hai cạnh góc vuông).

b) Đúng. Theo a) có ∆ABE = ∆BCF nên \(\widehat {BAE} = \widehat {CBF}\) (2 góc tương ứng).

c) Đúng. Xét ∆ABE vuông tại B có \(\widehat {BAE} + \widehat {BEA} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {BAE} = \widehat {CBF}\) nên \(\widehat {CBF} + \widehat {BEA} = 90^\circ \).

Gọi M là giao điểm của AE và BF.

Xét ∆MBE có \(\widehat {EBM} + \widehat {BEM} = 90^\circ \) nên \(\widehat {BME} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

Vậy AE ⊥ BF.

d) Sai. Theo c) có AE ⊥ BF, mà BK // AE nên BK ⊥ BF.

Do đó ∆BKF vuông tại B.

Lại có BN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền FK nên \(BN = \frac{1}{2}FK\).

Mà N là trung điểm FK nên \(NF = \frac{1}{2}FK\).

Suy ra BN = NF nên ∆BNF cân tại N.

Không có góc nào bằng 60° nên ∆BNF không phải tam giác đều.