Cho hình vuông ABCD tâm O. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

Đáp án đúng là: C

Vì hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\) nên hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường.

Phương án A:\(\overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {OB} \) suy ra \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = 0\) nên đáp án A đúng, loại A.

Phương án B: \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OC} = - OA \cdot OC = - O{A^2}\)

và \(\frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AC} = - \frac{1}{2} \cdot OA \cdot AC = - \frac{1}{2}OA \cdot 2OA = - O{A^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AC} = - O{A^2}\)nên đáp án B đúng, loại B.

Phương án C và D: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ = AB \cdot AB\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\).

\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = - AB \cdot DC = - A{B^2}\), \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} = AC \cdot AD \cdot \cos 45^\circ = AB\sqrt 2 \cdot AB \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} \), \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} \) nên chọn C và loại D.