Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, BC, CD và DA. Các cung lần lượt là các cung tròn của các đường tròn tâm A, B, C, D với bán kính bằng nhau (th

Đáp án: 75,3.

Gọi cạnh hình vuông là \(2a\).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, điểm \(A\left( {a;a} \right)\)

Ta có: \[ \Leftrightarrow \frac{{25}}{4}.\left( {4 - \pi } \right) + \frac{1}{4}\pi .{a^2} = {a^2}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{25}}{4}.\left( {4 - \pi } \right) = {a^2}.\left( {1 - \frac{\pi }{4}} \right)\] \[ \Leftrightarrow a = 5\].

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(A\), bán kính \(a\) là: \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25\)

Với \(y < 5 \Rightarrow y = f\left( x \right) = 5 - \sqrt {25 - {{\left( {x - 5} \right)}^2}} \) \( \Rightarrow {V_1} = \pi \int\limits_0^5 {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Vậy thể tích vật thể khi cho “tứ giác cong” \[MNPQ\] quay quanh trục \[NQ\] là:

\(V = 2{V_1} \approx 75,3\,\,d{m^2}\).