Cho hình vuông ABCD tâm O, điểm E nằm trên đoạn thẳng OB (E khác O, B), H là

a) Ta có \(\widehat {ADC} = 90^\circ \)(ABCD là hình vuông)

    \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) (H là hình chiếu của C trên AE)

Xét tứ giác ADCH có: \(\widehat {ADC} + \widehat {AHC} = 180^\circ \)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

\( \Rightarrow \) Tứ giác ADCH nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {DHC} = 45^\circ \)(cùng chắn cung CD) mà \(\widehat {AHD} + \widehat {DHC} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \)\(\widehat {AHD} = 45^\circ \)

\( \Rightarrow \) HD là tia phân giác của góc AHC.

b) Xét tứ giác OEHC có: \(\widehat {EOC} + \widehat {EHC} = 180^\circ \).

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

\( \Rightarrow \)Tứ giác OEHC nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {AEO} = \widehat {ACH}\)(góc ngoài bằng góc đối trong)                                                       (1) 

Tứ giác ADCH nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {ADF} = \widehat {ACH}\)(cùng chắn cung AH)                       (2)

Từ (1) và (2) suy ra \( \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {ADF}\)

Xét \(\Delta ADE\)và \(\Delta FAD\)có:\(\)\(\)

\( \Rightarrow \frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{DE}} \Leftrightarrow AF.DE = A{D^2}\)

Ta có: \({S_{AEFD}} = \frac{1}{2}AF.DE = \frac{1}{2}A{D^2} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\).