Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm I, bán kính R = 40√2 (cm). Gọi (H) là miền chứa tất cả các điểm M nằm bên trong hình vuông sao cho độ dài MI ≥ d(M, AB). Khi đó diện tích hình phẳn

Bán kính đường tròn \(R = 40\sqrt 2 \) nên suy ra đường chéo của hình vuông bằng \(80\sqrt 2 \) nên cạnh hình vuông bằng \(80\)cm.

Các điểm \(M\) thỏa mãn \(MI = d\left( {M,\,AB} \right)\) nằm trên một đường cong có phương trình \(y = f\left( x \right)\) và đây chính là một parabol có tiêu điểm \(I\) và đường chuẩn \(AB\). Khi đó hình phẳng \(\left( H \right)\) chính là miền được tô màu như hình vẽ

Gọi \(M\left( {x;\,y} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MI = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \\d\left( {M,\,AB} \right) = \left| {x + 40} \right|\end{array} \right. \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = \left| {x + 40} \right| \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {80x + 1600} \)

Giao điểm của parabol với hai cạnh \(AD\) và \(BC\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}y =  \pm \sqrt {80x + 1600} \\y =  \pm 40\end{array} \right.\)  nên suy ra \(E\left( {0;\,40} \right)\); \(F\left( {0;\, - 40} \right)\)

Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) cần tính có thể dùng tích phân hoặc công thức tính nhanh diện tích cổng parabol: \({S_{\left( H \right)}} = 2\left( {\int\limits_{ - 40}^{ - 20} {\left| {40} \right|{\rm{d}}x + \int\limits_{ - 20}^0 {\left| {40 - \sqrt {80x + 1600} } \right|{\rm{d}}x} } } \right) = 2133\)(cm²)

Khi thành thạo rồi thì ta có thể tư duy nhanh về dữ kiện đề bài cho. Ta thấy hình phẳng \(\left( H \right)\) nằm bên trong hình vuông, đồng thời thỏa mãn điều kiện \(MI \ge d\left( {M,AB} \right)\) thì đây là miền hình phẳng nằm bên trong hình vuông, giới hạn bởi một đường parabol có tiêu điểm là \(I\), đường chuẩn \(AB\) và miền cần tính chứa đường chuẩn \(AB\), bao gồm cả đường parabol.

Tính diện tích dựa trên công thức tính nhanh:

\[{S_{\left( H \right)}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} - \frac{4}{3}.EI.KI = \frac{1}{2}{.80^2} - \frac{4}{3}.40.20 = 2133\](cm²)