Cho hình vuông ABCD. M là điểm tùy ý trên cạnh DC. Tia phân giác của góc DAM cắt CD tại I. Kẻ IH vuông góc AM tại H và tia IH cắt BC tại K

Vì tia \(AI\) là tia phân giác của \(\widehat {DAM}\) nên \(\widehat {DAI} = \widehat {IAH}.\)

Xét \(\Delta ADI\) vuông tại \(D\) và \(\Delta AHI\) vuông tại \(H\) có:

\(AI\) là cạnh huyền chung và \(\widehat {DAI} = \widehat {IAH}\)

Do đó \(\Delta ADI = \Delta AHI\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(AD = AH.\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AD = AB,\) do đó \(AH = AB.\)

Xét \(\Delta AHK\) vuông tại \(H\) và \(\Delta ABK\) vuông tại \(B\) có:

\(AK\) là cạnh huyền chung và \(AH = AB\)

Do đó \(\Delta AHK = \Delta ABK\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {HAK} = \widehat {BAK}.\)

Ta có \(\widehat {IAK} = \widehat {IAH} + \widehat {HAK}.\)

Khi đó \(2\widehat {IAK} = 2\widehat {IAH} + 2\widehat {HAK} = \widehat {DAH} + \widehat {HAB} = \widehat {DAB} = 90^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {IAK} = 45^\circ .\)

Đáp án: 45.