Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M tùy ý trên cạnh BC và điểm N trên cạnh CD sao cho góc MAN = 45 độ. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat{BAD} = 90^\circ$.

Suy ra \[\widehat {BAM} + \widehat {DAN} = \widehat {BAD} - \widehat {MAN} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \].

b) Sai. Xét ∆ABM và ∆ADE có:

AB = AD (cạnh hình vuông),

\(\widehat {ABM} = \widehat {ADE} = 90^\circ \),

BM = DE (cách dựng)

Do đó ∆ABM = ∆ADE (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {DAE}\) và AM = AE.

Khi đó \(\widehat {EAN} = \widehat {DAE} + \widehat {DAN} = \widehat {BAM} + \widehat {DAN} = 45^\circ \).

c) Sai. Xét AMN và AEN có:

AM = AE (chứng minh trên),

\(\widehat {MAN} = \widehat {EAN} = 45^\circ \),

AN là cạnh chung.

Do đó ∆AMN = ∆AEN (c.g.c).

d) Đúng. Từ ∆AMN = ∆AEN suy ra MN = EN.

Mà EN = ED + DN = BM + DN.

Do đó MN = BM + DN.

Chu vi ∆CMN là:

CM + CN + MN = CM + CN + BM + DN

= (CM + BM) + (CN + DN) = BC + CD

= 2BC (vì ABCD là hình vuông).

Chu vi hình vuông ABCD là 4BC.

Vậy chu vi tam giác CMN bằng nửa chu vi hình vuông ABCD.