Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AD tại F.

a) Do ME⊥AB tại E nên MEA^=90°.

Do MF⊥AD tại F nên MFA^=90°.

Do ABCD là hình vuông nên EAF^=90°.

Tứ giác AEMF có MFA^=EAF^=AEM^=90° nên AEMF là hình chữ nhật.

b) Do ABCD là hình vuông nên BD là đường phân giác của góc ABC^.

Do đó ABD^=45° suy ra ΔBEM vuông cân tại E

Nên BE=ME.

Do AEMF là hình chữ nhật nên ME = AF nên BE = AF

Chu vi của hình chữ nhật AEMF là:

2AE+AF=2AE+BE=2AB.

Mà AB không đổi nên chu vi của hình chữ nhật AEMF không đổi.

Do đó, diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất khi AEMF là hình vuông.

Suy ra ME=MF.

Khi đó ΔBEM=ΔDFM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra BM = DM hay M là trung điểm của BC

Vậy với M là trung điểm của BC thì diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất.