Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M nằm trên cạnh BC sao \(\widehat {BAM} = 15^\circ \). Kẻ đường thẳng đi qua A vuông góc với AM, đường thẳng này cắt đường thẳng chứa cạnh CD tại điểm N. Tính số
Giải thích
Đáp án: 45.
Vì ABCD là hình vuông nên AB = AD và \[\widehat B = \widehat D = 90^\circ \].
Ta có: \(\widehat {BAM} + \widehat {MAD} = \widehat {BAD} = 90^\circ \).
Mặt khác, \(\widehat {DAN} + \widehat {MAD} = \widehat {MAN} = 90^\circ \) (do AN vuông góc với AM).
Từ hai điều trên suy ra: \(\widehat {DAN} = \widehat {BAM} = 15^\circ \).
Xét ∆ABM vuông tại B và ∆ADN vuông tại D có:
AB = AD và \(\widehat {DAN} = \widehat {BAM} = 15^\circ \)
Do đó ∆ABM = ∆ADN (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Suy ra: AM = AN.
Xét ΔAMN có \(\widehat {MAN} = 90^\circ \) và AM = AN.
Do đó, ΔAMN là tam giác vuông cân tại đỉnh A.
Trong tam giác vuông cân, hai góc ở đáy bằng nhau và mỗi góc bằng 45°.
Suy ra \(\widehat {AMN} = 45^\circ \).