Cho hình vuông ABCD, lấy các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ B và D lên CM. K là giao điểm của DF với BC. 1) Chứng minh K là trung điểm

1) Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{BCD}}} = 90^\circ \), AB = BC = CD = DA, AB // CD.

Ta có: \(\widehat {{\rm{BMC}}} + \widehat {{\rm{MCB}}} = 90^\circ ,\widehat {{\rm{DCM}}} + \widehat {{\rm{MCB}}} = 90^\circ \) nên \(\widehat {{\rm{BMC}}} = \widehat {{\rm{DCM}}}\).

DMBC và DKCD có: \(\widehat {{\rm{MBC}}} = \widehat {{\rm{KCD}}} = 90^\circ ,\;\,\widehat {{\rm{BMC}}} = \widehat {{\rm{DCM}}}\), BC = CD.

Do đó, DMBC = DKCD (cgv – gn). Suy ra KC = MB.

Vì M là trung điểm của AB nên MB = \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)BC.

Suy ra: CK = \(\frac{1}{2}\)BC. Vậy K là trung điểm của BC.

2) Gọi P là giao điểm của AN và DK.

Vì N là trung điểm của CD nên NC = ND = \(\frac{1}{2}\)CD = \(\frac{1}{2}\)AB = AM.

Tứ giác AMCN có: NC = AM, NC // AM nên tứ giác AMCN là hình bình hành.

Do đó, AN // MC. Mà DK ^ MC nên DK ^ AN.

Tam giác DFC có: PN // FC, N là trung điểm của DC nên P là trung điểm của DF.

Tam giác ADF có: AP vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Suy ra, tam giác ADF cân tại A. Suy ra: AD = AF.