Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Gọi H là giao điểm của AM và BN. Tia AM cắt tia DC tại điểm I

a) Sai. Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB = BC = CD\) và \(\widehat B = \widehat C = 90^\circ .\)

Vì \(M,\) \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,\) \(CD\) nên

\(BM = MC = \frac{1}{2}BC,\,\,CN = DN = \frac{1}{2}CD.\)

Do đó \(BM = CM = CN = DN.\)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta BCN\) có:

\(\widehat B = \widehat C = 90^\circ ,\,\,AB = BC,\,\,BM = CN\)

Do đó \(\Delta ABM = \Delta BCN\) (hai cạnh góc vuông).

b) Đúng. Vì \(\Delta ABM = \Delta BCN\) nên \(\widehat {BAM} = \widehat {CBN}\).

Mà \(\widehat {CBN} + \widehat {ABN} = \widehat B = 90^\circ \) nên \(\widehat {HAB} + \widehat {HBA} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta ABH\) có \(\widehat {HAB} + \widehat {HBA} = 90^\circ \) nên

\(\widehat {AHB} = 180^\circ - \left( {\widehat {HAB} + \widehat {HBA}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\)

Suy ra \(AM \bot BN.\)

c) Đúng. Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ICM\) có:

\(\widehat B = \widehat C = 90^\circ ,\,\,BM = CM,\,\,\widehat {AMB} = \widehat {IMC}\) (đối đỉnh).

Do đó \(\Delta ABM = \Delta ICM\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra \(AB = CI\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(AB = CD\) nên \(CD = CI,\) do đó \(C\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DI.\)

d) Sai. Xét \(\Delta HNI\) vuông tại \(H\) có \(HP\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(NI\) nên \(HP = \frac{1}{2}NI.\)

Lại có \(NI = NC + CI = \frac{1}{2}CD + CD = \frac{3}{2}CD.\)

Do đó \(HP = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}CD = \frac{3}{4}CD.\)