Cho hình vuông ABCD. Gọi M là điểm nằm trên cạnh AD sao cho MA = 3MD, N là trung điểm của BC, I là trung điểm của MN. Gọi K là điểm thuộc cạnh CD sao cho vectơ DK = x vectơ DC.

b) Đúng. Điểm \(M\) thuộc đoạn \(AD\) nên \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MD} \) là hai vectơ ngược hướng. Mặt khác \(MA = 3MD\), nên \(\overrightarrow {MA}  =  - 3\overrightarrow {MD} \).

c) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

d) Sai. Vì \(I\) là trung điểm của \(MN\) nên theo quy tắc trung điểm với điểm \(D\) bất kỳ:

\(\overrightarrow {DI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DM}  + \overrightarrow {DN} } \right)\).

a) Đúng. Với \(x = \frac{1}{4}\) thì \(\overrightarrow {DK}  = x\overrightarrow {DC}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {DC}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \).

Ta có \(\overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DK}  = \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) - \frac{3}{4}\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \).

 \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = 0\) và \[AB = AD\]

Khi đó \(\overrightarrow {AK}  \cdot \overrightarrow {MN}  = \left( {\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{4}{\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{4}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = 0\).

Suy ra \(\overrightarrow {AK}  \bot \overrightarrow {MN} \), tức là \(AK \bot MN\).