Cho hình vuông ABCD. Dựng ở bên trong hình vuông tam giác đều ABE. Dựng ở bên ngoài hình vuông tam giác đều BCF. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Do ∆ABE đều nên \(\widehat {BAE} = \widehat {AEB} = \widehat {ABE} = 60^\circ .\)

b) Đúng. Vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {BAD} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {DAE} + \widehat {BAE} = 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {DAE} = 90^\circ - \widehat {BAE} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

c) Sai. Vì ∆ABE đều nên AE = AB, mà AD = AB (vì ABCD là hình vuông) nên AD = AE.

Suy ra ∆ADE cân tại A.

Do đó \[\widehat {AED} = \widehat {ADE} = \frac{{180^\circ - \widehat {DAE}}}{2} = \frac{{180^\circ - 30^\circ }}{2} = 75^\circ \].

d) Đúng. Vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {ABE} + \widehat {EBC} = \widehat {ABC} = 90^\circ \).

Vì ∆ABE và ∆BCF đều là tam giác đều nên \(\widehat {ABE} = \widehat {CBF} = 60^\circ \).

Vậy \(\widehat {CBF} + \widehat {EBC} = \widehat {EBF} = 90^\circ \). (1)

Mặt khác, ∆ABE đều nên AB = BE;

∆BCF đều NÊN BC = BF;

Mà AB = BC nên BE = BF. (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆BEF vuông cân tại B.

Do đó \(\widehat {BEF} = 45^\circ \).

Ta có \(\widehat {AED} + \widehat {AEB} + \widehat {BEF} = 75^\circ + 60^\circ + 45^\circ = 180^\circ \).

Vậy D, E, F thẳng hàng.