Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh độ dài cạnh bằng 6 cm. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng.

Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên AB = BC và \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ \).

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC nên EB = \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)BC = FB.

Do đó, DEBF cân tại B. Mà \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ \) nên DEBF vuông cân tại B.

Suy ra \(\widehat {{\rm{BEF}}} = 45^\circ .\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat {{\rm{AEH}}} = 45^\circ .\)

Ta có: \(\widehat {{\rm{HEF}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{BEF}}} - \widehat {{\rm{AEH}}} = 90^\circ \).

b) Sai.

Vì \(\widehat {{\rm{HEF}}} = 90^\circ \) nên DHEF vuông tại E.

Gọi O là trung điểm của HF.

Suy ra, EO là đường trung tuyến của DHEF vuông tại E.

Suy ra OE = OH = OF.

Do đó, điểm E thuộc đường tròn (O; OF).

c) Đúng.

Chứng minh tương tự phần a, ta có: \(\widehat {{\rm{HGF}}} = 90^\circ \) nên DHGF vuông tại G.

Mà GO là đường trung tuyến của DHGF vuông tại G.

Suy ra OG = OH = OF.

Do đó, điểm G thuộc đường tròn (O; OF).

Theo b) ta có điểm E thuộc đường tròn (O; OF).

Vậy 4 điểm E, F, G, H cùng thuộc đường tròn (O; OF).

d) Đúng.

Tứ giác ABFH có: HA // BF, HA = BF nên tứ giác ABFH là hình bình hành.

Suy ra HF = AB = 6 cm.

Suy ra OF = \(\frac{1}{2}\)AB = 3 cm.

Vậy bán kính đường tròn đi qua 4 điểm E, F, G, H bằng 3 cm.