Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a . Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N .

10/15

Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng$a$. Góc vuông \[xAy\] thay đổi sao cho tia $Ax$ cắt đoạn thẳng $BC$ tại $M$ và tia $Ay$ cắt đoạn thẳng $CD$ kéo dài tại $N$.

a) Chứng minh hai tam giác \[ABM{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}AND\] bằng nhau;

b) Gọi $O$ là trung điểm của $MN$. Chứng minh \[ABMO{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}ANDO\]là các tứ giác nội tiếp;

c) Chứng minh ba điểm $B,D,O$ thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh (ảnh 1)$

a) Ta có BAM^+MAD^=BAD^=90° (1). Lại có $Ax \bot Ay$ nên xAy^=90° hay MAD^+DAN^=90°(2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow \widehat {{\rm{BAM}}} = \widehat {{\rm{DAN}}}$nên hai tam giác vuông $ABM$và $AND$bằng nhau theo trường hợp g.c.g.

$ \Rightarrow {\rm{AM}} = {\rm{AN}}$

b) Tam giác $AMN$ vuông cân tại $A$, có $AO$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao hay $AO \bot MN$ hay AOM^=90°. Dễ thấy tứ giác \[ABMO\] có ABM^=AOM^=90°

⇒ABM^+AOM^=180° nên \[ABMO\] là tứ giác nội tiếp.

Lại có AON^=ADN^=90°, chứng tỏ bốn điểm $A,O,D,N$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AN$ hay tứ giác \[ANDO\]nội tiếp.

c) Ta có tứ giác\[\;ABMO\] nội tiếp (cmt) $ \Rightarrow \widehat {{\rm{BOM}}} = \widehat {{\rm{BAM}}}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung ),$\widehat {{\rm{BAM}}} = \widehat {{\rm{DAN}}}({\rm{cmt}})$. Lại có tứ giác \[ANDO\] nội tiếp (cmt) $ \Rightarrow \widehat {{\rm{DAN}}} = \widehat {{\rm{DON}}}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung)

$ \Rightarrow \widehat {{\rm{BOM}}} = \widehat {{\rm{DON}}}$, mà ba điểm $M,O,N$ thẳng hàng (gt)$ \Rightarrow B,D,O$thẳng hàng.