Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông ABCD ta được hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông thứ hai

Cạnh hình vuông thứ nhất: \({a_1} = 1\).

Cạnh hình vuông thứ hai là độ dài đoạn thẳng nối 2 trung điểm của 2 cạnh kề nhau của hình vuông thứ nhất: \({a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Do đó a) ĐÚNG.

Theo quy luật, cạnh hình vuông tiếp theo bằng cạnh hình vuông trước đó nhân với \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó, độ dài cạnh của hình vuông thứ \(n\) là: \({a_n} = {a_1} \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}} = 1 \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}} = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}}\). Phát biểu ghi là \({\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n}\) nên b) SAI.

Chu vi của hình vuông thứ \(n\) bằng: \({u_n} = 4 \cdot {a_n} = 4 \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}}\).

Biến đổi cụ thể: \(4 \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}} = 4 \cdot \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^n}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{4}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n} = 4\sqrt 2 {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n}\). Vậy c) ĐÚNG.

Tổng chu vi của tất cả các hình vuông trong dãy là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 4{a_1} = 4\) và công bội \(q = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\):

\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{4}{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{8}{{2 - \sqrt 2 }} = \frac{{8\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{4 - 2}} = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 8 + 4\sqrt 2 \).

Đối chiếu với dạng \(a + b\sqrt 2 \), ta được \(a = 8\) và \(b = 4\). Khi đó \(a + b = 8 + 4 = 12\). Vậy d) ĐÚNG.

Kết luận:

a) ĐÚNG b) SAI c) ĐÚNG d) ĐÚNG