Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Cung AC là một phần tư đường tròn tâm D , bán kính DA (tham khảo hình vẽ). Giả sử P là điểm thay đổi trên cung AC ( P khác A và C ).

Đáp án: \[0,17\].

Đặt \[BM = x;\,BN = y\] vơi\[0 \le x,y \le 1\].

Diện tích tam giác \[BMN\]là \[{S_{BMN}} = \frac{1}{2}xy\].

Theo tính chất tiếp tuyến ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}MP = MA = 1 - x\\NP = NC = 1 - y\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow MN = MP + NP = 2 - x - y\].

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác \[BMN\], ta có: \[B{M^2} + B{N^2} = M{N^2}\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {2 - x - y} \right)^2} \Leftrightarrow xy + 2 = 2\left( {x + y} \right)\]

BĐT Cô-si, ta có: \[2\left( {x + y} \right) \ge 2.2\sqrt {xy} \] \[ \Leftrightarrow xy + 2 \ge 4\sqrt {xy} \]

\[ \Leftrightarrow xy - 4\sqrt {xy}  + 2 \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {xy}  \le 2 - \sqrt 2 \\\sqrt {xy}  \ge 2 + \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy \le {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^2}\\xy \ge {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^2}\end{array} \right.\]

Khi đó: \[{S_{BMN}} \le \frac{{{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{2}\]\[ \approx 0,17\].