Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh

Hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh \(AC = a\sqrt 2 \). Suy ra cạnh hình vuông bằng \(a\), \(AO = OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AO} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AO} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right)\)\( = a \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \cos 45^\circ \)\( = a \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\) (1).

Vì \(O,M\) là trung điểm của \(BD,BC\) nên \(OM\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\).

Suy ra \(OM = \frac{{DC}}{2} = \frac{a}{2}\).

Ta có \(2\left( {O{C^2} - O{M^2}} \right) = 2\left[ {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} \right] = \frac{{{a^2}}}{2}\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {OC} = 2\left( {O{C^2} - O{M^2}} \right)\).