Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diện tích S1 . Nối bốn trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự của bốn cạnh AB , BC , CD , DA ta được hình vuông thứ hai có diện tích S2
12/19
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\) và có diện tích \({S_1}\). Nối bốn trung điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) theo thứ tự của bốn cạnh \(AB,BC,CD,DA\) ta được hình vuông thứ hai có diện tích \({S_2}\). Tiếp tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có diện tích là \({S_3}\), … và cứ tiếp tục làm như thế, ta tính được các hình vuông lần lượt có diện tích \({S_4},{S_5},...,{S_{100}}\) (hình vẽ)
Biết tổng \({S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_{100}} = \frac{{{2^{100}} - 1}}{{{2^{93}}}}\). Tính a?
\(a = 8\)
\(a = 4\)
\(a = 2\)
\(a = 1\)
Chọn ADễ thấy \({S_1} = {a^2};\,\,{S_2} = \frac{{{a^2}}}{2};\,\,{S_3} = \frac{{{a^2}}}{4};...;{S_{100}} = \frac{{{a^2}}}{{{2^{99}}}}\).
Như vậy \({S_1},\,{S_2},{S_3},...,\,{S_{100}}\) là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{2}\).
\(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_{100}} = {a^2}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}}} \right) = \frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{99}}}}\).
Theo giả thiết: \(\frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{99}}}} = \frac{{{2^{100}} - 1}}{{{2^{93}}}}\)\( \Leftrightarrow {a^2} = {2^6} = 64 \Leftrightarrow a = 8\)