Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diện tích S1. Nối 4 trung điểm A1,B1, C1, D1 theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC,CD, DA ta được hình vuông thứ hai có diện tích S2
40/53
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\) và có diện tích \({S_1}\). Nối \(4\) trung điểm \({A_1}\), \({B_1}\), \({C_1}\), \({D_1}\) theo thứ tự của \(4\) cạnh \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) ta được hình vuông thứ hai có diện tích \({S_2}\). Tiếp tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là\({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có diện tích \({S_3}\), …và cứ tiếp tục làm như thế, ta tính được các hình vuông lần lượt có diện tích \({S_4}\), \({S_5}\),…,\({S_{100}}\) (tham khảo hình vẽ). Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_{100}}\).
\(S = \frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{100}}}}\).
\(S = \frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{99}}}}\).
\(S = \frac{{{a^2}}}{{{2^{100}}}}\).
\(S = \frac{{{a^2}\left( {{2^{99}} - 1} \right)}}{{{2^{98}}}}\).
Lời giải
Chọn B.
Ta có \({S_1} = {a^2}\); \({S_2} = \frac{1}{2}{a^2}\); \({S_3} = \frac{1}{4}{a^2}\),…
Do đó \({S_1}\), \({S_2}\), \({S_3}\),…, \({S_{100}}\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = {S_1} = {a^2}\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_{100}}\)\( = {S_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)\( = \frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{99}}}}\).