Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diện tích S1
78/100
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng \(a\) và có diện tích \({S_1}\). Nối 4 trung điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai có diện tích \({S_2}\). Tiếp tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có diện tích \({S_3},{S_4}, \ldots \) Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + \ldots + {S_{100}}\).
\(S = \frac{{{a^2}}}{{{2^{100}}}}\).
\(S = \frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{99}}}}\).
\(S = \frac{{{a^2}\left( {{2^{99}} - 1} \right)}}{{{2^{98}}}}\).
\(S = \frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{100}}}}\).
Ta có \({S_1} = {a^2};{S_2} = \frac{1}{2}{a^2};{S_3} = \frac{1}{4}{a^2}, \ldots \)
Do đó \({S_1},{S_2},{S_3}, \ldots ,{S_{100}}\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = {S_1} = {a^2}\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\). Suy ra \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + \ldots + {{\rm{S}}_{100}} = {S_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{99}}}}\).