Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 8. Trên cạnh \(BC\), lấy điểm \(M\) sao cho

Xét hai tam giác vuông \(ABM\) và \(ADN\), ta có:

\(AB = AD\),\(\widehat {BAM} = \widehat {DAN}\) (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

Do đó tam giác \(\Delta ABM = \Delta ADN\) (cạnh góc vuông – góc nhọn). Suy ra, \(DN = BM\) (1).

Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song \(ID\) cắt \(NC\) tại \[E\].

Xét tam giác \(MNE\):

Do \(I\) là trung điểm của \(MN\) và \(ID\,{\rm{//}}\,ME\), nên \(D\) là trung điểm của \(NE\). Vì thế \(DE = DN = BM\) (theo (1)). Suy ra, \(MC = CE\) (2)

Do \(I,D\) tương ứng là trung điểm của \(MN,\,NE\), nên \(ID\) là đường trung bình của tam giác. Do đó, \(DI = \frac{1}{2}EM\).

Xét tam giác vuông (tại C) MCE, theo định lí Pitago, ta có:

\(EM = \sqrt {M{C^2} + C{E^2}} = \sqrt {2M{C^2}} \)(do (2))

\( = \sqrt 2 MC = \sqrt 2 \left( {BC - BM} \right) = \sqrt 2 \left( {8 - 5} \right) = 3\sqrt 2 \).

Vì thế \(DI = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).