Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4, chính giữa có một hình vuông đồng tâm với ABCD
18/27
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 4, chính giữa có một hình vuông đồng tâm với \(ABCD\). Biết rằng bốn tam giác là bốn tam giác cân. Hỏi tổng diện tích của hình vuông ở giữa và bốn tam giác cân nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
\(\frac{{19}}{3}\).
\(\frac{{17}}{3}\).
\(\frac{{16}}{3}\).
\(\frac{{14}}{3}\).
Chọn C
Đặt \(AM = x\,\,\,\left( {0 < x < 4} \right) \Rightarrow ME = 4 - 2x\).
\[2M{Q^2} = {\left( {4 - 2x} \right)^2} \Leftrightarrow M{Q^2} = 2{\left( {2 - x} \right)^2} \Leftrightarrow MQ = \sqrt {2\left( {2 - x} \right)} \]
Gọi \(S\) tổng diện tích của hình vuông ở giữa và bốn tam giác cân nhỏ.
\(S = 4.\frac{{M{Q^2}}}{2} + P{Q^2} = 2M{Q^2} + M{N^2} = {\left( {4 - 2x} \right)^2} + {\left( {x\sqrt 2 } \right)^2} = 6{x^2} - 16x + 16\)\( = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}\)
Bảng biến thiên
Vậy \({S_{\min }} = \frac{{16}}{3}\)