Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3. Người ta dựng hình vuông A1B1C1D1
24/24
Cho hình vuông \[ABCD\] có cạnh bằng 3. Người ta dựng hình vuông \[{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] có cạnh bằng \[\frac{1}{2}\]đường chéo của hình vuông \[ABCD\]; dựng hình vuông \[{A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\]có cạnh bằng \[\frac{1}{2}\]đường chéo của hình vuông \[{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] và cứ tiếp tục như vậy (tham khảo hình vẽ).
Giả sử cách dựng trên có thể tiến tới vô hạn. Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông \(ABCD,{A_1}{B_1}{C_1}{D_1},{A_2}{B_2}{C_2}{D_2}...\)
Ta có \({S_1} = {S_{ABC{\rm{D}}}} = {3^2}\);
\[{S_2} = {S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = {\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{3^2}}}{2}\];
\({S_3} = {S_{{A_2}{B_2}{C_2}{D_2}}} = {\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{3^2}}}{{{2^2}}}\)
………………………
\({S_n} = {3^2}\frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\),..
Như vậy các số \({S_1},{S_2},...,{S_n},..\)lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có:\({S_1} = {3^2},q = \frac{1}{2}\)
Vậy \(S = {S_{ABC{\rm{D}}}} + {S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} + {S_{{A_2}{B_2}{C_2}{D_2}}} + ... = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ... = \frac{{{S_1}}}{{1 - q}}\)\( = \frac{{{3^2}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = {2.3^2} = 18\).