Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2 và có diện tích S_1

30/30

Cho hình vuông \(ABCD\)có cạnh bằng \(2\)và có diện tích \({S_1}\). Nối \(4\)trung điểm \({A_1}\), \({B_1}\), \({C_1}\),\({D_1}\)theo thứ tự của \(4\)cạnh \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) ta được hình vuông thứ hai \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có diện tích \({S_2}\). Tiếp tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có diện tích \({S_3}\), …và cứ tiếp tục làm như thế, ta tính được các hình vuông lần lượt có diện tích \({S_4}\), \({S_5}\),…,\({S_{100}}\) (xem hình vẽ). Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_{100}}\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có:\(AB = 2\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{S_1} = {2^2} = 4\);\({A_1}{B_1} = \sqrt 2 \,\,\, \Rightarrow \,\,\,{S_2} = {\sqrt 2 ^2} = 2\);\({A_2}{B_2} = 1\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{S_3} = {1^2} = 1\);

\({A_3}{B_3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{S_4} = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\);….

Do đó \({S_1}\), \({S_2}\), \({S_3}\),…, \({S_{100}}\)là một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = {S_1} = 4\)và công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_{100}}\)\( = {S_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)\( = \frac{{4\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{100}}} \right)}}{{1 - \left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 8.\).