Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 10 và có diện tích S1. Nối 4 trung điểm A1, B1, C1, D1 theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai có diện tích S2.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải.

Mỗi lần nối các trung điểm của một hình vuông ta được hình vuông mới có đường chéo bằng cạnh hình vuông cũ, nên cạnh mới bằng \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\) cạnh cũ (tức diện tích giảm theo tỉ lệ \(\frac{1}{2}\)).

Vì diện tích tỉ lệ với bình phương cạnh nên diện tích giảm một nửa. \({S_{n + 1}} = \frac{1}{2}{S_n}\). Do đó \({S_1},{S_2}, \ldots ,{S_{100}}\) là cấp số nhân công bội \(q = \frac{1}{2}\), áp dụng công thức tổng cấp số nhân để tính S.

Lời giải chi tiết.

Ta có hình vuông ban đầu cạnh 10 nên \({S_1} = 100\).

Gọi \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Khi nối \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) ta được hình vuông thứ hai.

Xét tam giác vuông \(A{A_1}{D_1}\) có \(A{A_1} = 5,A{D_1} = 5\) nên \({A_1}{D_1} = \sqrt {{5^2} + {5^2}} = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \).

Vậy cạnh hình vuông thứ hai là \(5\sqrt 2 \) nên \({S_2} = {(5\sqrt 2 )^2} = 50 = \frac{{{S_1}}}{2}\).

Làm tương tự, mỗi lần tạo hình vuông mới thì diện tích giảm một nửa, do đó \({S_n} = {S_1}{(\frac{1}{2})^{n - 1}} = 100{(\frac{1}{2})^{n - 1}}\).

Tổng cần tính. \(S = {S_1} + {S_2} + \ldots + {S_{100}} = 100(1 + \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})^2} + \ldots + {(\frac{1}{2})^{99}})\).

Đây là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{2}\), nên \(S = 100 \cdot \frac{{1 - {{(\frac{1}{2})}^{100}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 200(1 - {2^{ - 100}})\).