Cho hình vẽ: Biết rằng góc BFA = 2 góc BFO, khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: \(\widehat {{\rm{BFA}}} + \widehat {{\rm{BFO}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {{\rm{BFO}}} + {\rm{2}}\widehat {{\rm{BFO}}} = 180^\circ \) nên \(\widehat {{\rm{BFO}}} = 60^\circ \). Vậy \(\widehat {{\rm{BFO}}} > 50^\circ .\)

b) Đúng.

Vì OB = OF nên DBOF cân tại O.

Mà \(\widehat {{\rm{BFO}}} = 60^\circ \)nên DBOF đều.

Vậy \(\widehat {{\rm{BOF}}} = 60^\circ \).

c) Sai.

Vì DBOF đều nên \(\widehat {{\rm{OBF}}} = 60^\circ \).

DBOA vuông tại B nên \(\widehat {{\rm{BOF}}} + \widehat {{\rm{BAO}}} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {{\rm{BAO}}} = 30^\circ \).

Vì AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A của đường tròn (O; OB) nên AB = AC và AO là tia phân giác của góc BAC.

Suy ra \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 2\widehat {{\rm{BAO}}} = 60^\circ .\)

Vậy \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 60^\circ .\)

d) Đúng.

Vì AB = AC nên DABC cân tại A.

Mà \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 60^\circ \) nên DABC đều.

Suy ra \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 60^\circ \).

Ta có: \(\widehat {{\rm{FBA}}} = 90^\circ - \widehat {{\rm{OBF}}} = 30\).

Do đó, \(\widehat {{\rm{FBA}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{ABC}}}\) nên BF là tia phân giác của \(\widehat {{\rm{ABC}}}\)

Vì DABC đều có F là giao điểm của hai đường phân giác AF và BF nên F là trọng tâm của tam giác đó (1).

Vì DABC đều nên AG là đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó (2).

Từ (1) và (2) ta có: AG = 3GF.

Vậy AG = 3GF.