Cho hình vẽ bên gồm 4 tam giác. Người ta chọn 3 số phân biệt từ tập hợp S = { 1 ; 2 ; 3 ; . . . ; 26 } để xếp vào 3 tam giác ở 3 góc. Sau đó tính tổng bình phương của 3 số đó rồi ghi kết qu

Đáp án: \(3360\)

Đầu tiên, ta khẳng định: một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể dư 0; 1; 4. Thật vậy, sau đây là bảng số dư khi chia cho 5 của \(n\) và \({n^2}\) tương ứng:

Như vậy, tổng 3 bình phương chia hết cho 5, chỉ có thể rơi vào một trong hai trường hợp: \[5 = 0 + 0 + 0 = 0 + 1 + 4\]

TH1: Cả ba bình phương đều chia 5 dư 0, khi đó mỗi số cũng đã phải chia 5 dư 0 rồi. Từ 1 tới 26 có 5 số chia hết cho 5 là 5;10;15;20;25, nên số cách xếp ở trường hợp này là \(A_5^3 = 60\)cách, trong đó đã có \(3! = 6\) cách hoán vị 3 số được chọn vào 3 tam giác.

TH2: Có một số chia hết cho 5, một số chia 5 dư 1, một số chia 5 dư 4.

- \({n^2} \vdots 5\) thì \[n \vdots 5\], từ 1 tới 26 có 5 số

- \({n^2}\) chia 5 dư 1, thì \(n\)chia 5 dư 1 hoặc 4, từ 1 tới 26 có 11 số.

- \({n^2}\) chia 5 dư 4, thì \(n\)chia 5 dư 2 hoặc 3, từ 1 tới 26 có 10 số.

nên trường hợp này có \(5.11.10.3! = 3300\) cách.

Như vậy, kết hợp 2 trường hợp, số cách xếp thỏa mãn đề bài là \(3360\) cách.