Cho hình tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có độ dài cạnh AB

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác định thiết diện của hình chóp sau đó tính diện tích thiết diện đó

Lời giải

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SA \bot \left( {ABC} \right)}\\{AB \subset \left( {ABC} \right)}\end{array} \Rightarrow SA \bot AB} \right.\)

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB,\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow CI \bot AB\)

Từ \(M\) kẻ \(MN//SA,N \in AC \Rightarrow MN \bot AB\)

\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAC} \right) = MN\)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(NP \bot AB,P \in AB\)

\( \Rightarrow NP \bot AB \Rightarrow NP = \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right)\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(PQ//SA \Rightarrow PQ \bot AB \Rightarrow PQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right)\)

Vậy thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (\(\alpha \)) và hình chóp \(S.ABC\) là tứ giác \(MNPQ\)

Tứ giác \(MNPQ\) có \(MN//PQ\) và \(MN \bot NP,PQ \bot NP \Rightarrow \) Tứ giác \(MNPQ\) là hình thang vuông

Áp dụng định lý Thales trong tam giác \(SAC\) có \(MN//SA\):

\(\frac{{MC}}{{SC}} = \frac{{NC}}{{NA}} = \frac{{MN}}{{SA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{1}{3}SA = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

Tương tự trong tam giác \(AIC\) có \(IC//NP\):

\(\frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{PN}}{{IC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{PN}}{{IC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow PN = \frac{2}{3}IC\)

\(IC\) là đường cao trong tam giác đều \( \Rightarrow IC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow PN = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Trong tam giác \(SAB\) có \(PQ//SA \Rightarrow \frac{{PB}}{{BA}} = \frac{{BQ}}{{SB}} = \frac{{PQ}}{{SA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{PQ}}{{SA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow PQ = \frac{1}{3}a\sqrt 2 \)

Vậy diện tích thiết diện cần tìm là:

\(S = \frac{{MN + PQ}}{2}.NP = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{3} + \frac{{a\sqrt 2 }}{3}}}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{9}\)