Cho hình tứ diện S.ABC. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM = \(\frac{2}{5}\)MA. Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với mặt phẳng (ABC) cắt cạnh SC tại N. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng NC.

Đáp án: 2,5.

Vì mặt phẳng (α) đi qua M song song với mặt phẳng (ABC), (SAC) ∩ (α) = MN (do M, N ∈ (α) ∩ (SAC)), (SAC) ∩ (ABC) = AC ⇒ MN ∥ AC.

Xét tam giác SAC, theo định lí Thalès: \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SC}}\).

Theo đề bài, ta có: SM = \(\frac{2}{5}\)MA ⇒ \(\frac{{SM}}{{MA}} = \frac{2}{5}\) ⇒ MA = \(\frac{5}{2}\)SM.

⇒ SA = SM + MA = SM + \(\frac{5}{2}\)SM = \(\frac{7}{2}\)SM ⇒ \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{\frac{7}{2}SM}} = \frac{2}{7}\).

Suy ra \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SC}}\) = \(\frac{2}{7}\) ⇒ SN = \(\frac{2}{7}\)SC.

Vì NC = SC – SN = SC – \(\frac{2}{7}\)SC = \(\frac{5}{7}\)SC.

Mà E là trung điểm của đoạn thẳng NC (theo giả thiết)

⇒ EC = \(\frac{1}{2}\)NC = \(\frac{1}{2}\)⋅ \(\frac{5}{7}\)SC = \(\frac{5}{{14}}\)SC = \(\frac{5}{{14}}\)⋅ 7 = \(\frac{5}{2}\) = 2,5 (cm).