Cho hình tứ diện OABC có G(3; −3; 6) là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm A thỏa mãn AB = (1; 2; 3) và AC = (−1; 4; −2).

Gọi A(a; b; c).

Có G là trọng tâm nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GO} = \overrightarrow 0 \)

⇔\(\overrightarrow {GA} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AO} } \right) = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AO} = 4\overrightarrow {AG} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (1; 2; 3), \(\overrightarrow {AC} \) = (−1; 4; −2), \(\overrightarrow {AO} \) = (−a; −b; −c),

⇒ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AO} \) = (−a; 6 – b; 1 – c).

          \(\overrightarrow {AG} \) = (3 – a; −3 – b; 6 – c) ⇒ \(4\overrightarrow {AG} \) = (12 – 4a; −12 – 4b; 24 – 4c).

Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l} - a = 12 - 4a\\6 - b = - 12 - 4a\\1 - c = 24 - 4c\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - 6\\c = \frac{{23}}{3}\end{array} \right.\) ⇒ A\(\left( {4; - 6;\frac{{23}}{3}} \right)\).