Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O , OB = a , OC = a √ 3 . Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng ( OBC ) , OA = a √ 3 , gọi M là trung điểm của BC .

26/50

Cho hình tứ diện \[OABC\] có đáy \[OBC\] là tam giác vuông tại $O$, $OB = a$, $OC = a\sqrt 3 $. Cạnh $OA$ vuông góc với mặt phẳng \[\left( {OBC} \right)\], $OA = a\sqrt 3 $, gọi M là trung điểm của $BC$. Tính theo $a$ khoảng cách $h$ giữa hai đường thẳng $AB$ và \[OM\].

$h = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}$.

$h = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$.

$h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

$h = \frac{{a\sqrt 3 }}{{15}}$.

Giải thích

$Tam giác $AOI$ vuô (ảnh 1)$

Trong mặt phẳng $\left( {OBC} \right)$ dựng hình bình hành $OMBN$, kẻ $OI \bot BN$.

Kẻ $OH \bot AI$. Nhận xét $OM\,{\rm{//}}\left( {ABN} \right)$ nên khoảng cách $h$ giữa hai đường thẳng $AB$ và \[OM\] bằng khoảng cách giữa đường thẳng $OM$và mặt phẳng $\left( {ABN} \right)$, bằng khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( {ABN} \right)$. Suy ra $h = d\left( {O,\left( {ABN} \right)} \right) = OH$.

Tam giác $OBI$ có $OB = a$, $\widehat {BOM} = 60^\circ $ nên $OI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Tam giác $AOI$ vuông tại $O$ nên $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}}$$ \Leftrightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}}$$ \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$.

Chọn B.