Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O; OB = 1 và OC = căn bậc hai của 3. Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng (OBC); OA = căn bậc hai của 3 và gọi M là trung điểm của BC. Tính k
Dựng \(D\) sao cho \(BD\parallel OM\) và \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\).
Khi đó ta có \(OM\parallel \left( {ABD} \right) \Rightarrow d\left( {AB,OM} \right) = d\left( {OM,\left( {ABD} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {ABD} \right)} \right)\).
Kẻ \(OH \bot BD\). Lại có \(BD \bot OA\) (do \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot \left( {OBC} \right)\\BD \subset \left( {OBC} \right)\end{array} \right.\)) suy ra \(BD \bot \left( {AOH} \right)\).
Suy ra \(\left( {AOH} \right) \bot \left( {ABD} \right)\) theo giao tuyến \(AH\).
Trong \(\left( {AHO} \right)\), kẻ \(OK \bot AH\) suy ra \(OK \bot \left( {ABD} \right) \Leftrightarrow OK = d\left( {O,\left( {ABD} \right)} \right)\).
Trong \(\Delta AHO\): \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} + \frac{1}{{O{A^2}}} = \frac{1}{{O{D^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{A^2}}} = \frac{1}{{{{3.1}^2}}} + \frac{1}{{{{3.1}^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}}\)
Suy ra \(OK = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\) hay .