Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O

25/234

Cho hình tứ diện \[OABC\] có đáy \[OBC\] là tam giác vuông tại \(O\), \(OB = a\), \(OC = a\sqrt 3 \). Cạnh \(OA\) vuông góc với mặt phẳng \[\left( {OBC} \right)\], \(OA = a\sqrt 3 \), gọi M là trung điểm của \(BC\). Tính theo \(a\) khoảng cách \(h\) giữa hai đường thẳng \(AB\) và \[OM\].

\(h = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

\(h = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

\(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{{15}}\).

Giải thích

Trong mặt phẳng \(\left( {OBC} \right)\) dựng hình bình hành \(OMBN\), kẻ \(OI \bot BN\).

Kẻ \(OH \bot AI\). Nhận xét \(OM\,{\rm{//}}\left( {ABN} \right)\) nên khoảng cách \(h\) giữa hai đường thẳng \(AB\) và \[OM\] bằng khoảng cách giữa đường thẳng \(OM\)và mặt phẳng \(\left( {ABN} \right)\), bằng khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {ABN} \right)\). Suy ra \(h = d\left( {O,\left( {ABN} \right)} \right) = OH\).Tam giác \(OBI\) có \(OB = a\), \(\widehat {BOM} = 60^\circ \) nên \(OI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác \(AOI\) vuông tại \(O\) nên \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O (ảnh 1)

Chọn B.