Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 12. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD . Gọi P là trung điểm đoạn thẳng CM .

Trả lời: 6,63

Trong mặt phẳng \(\left( {DMC} \right)\), gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(DP\).

Khi đó \(I \in MN \subset \left( {ABN} \right) \Rightarrow I \in \left( {ABN} \right)\).

Vậy \(I\) là giao điểm của \(DP\) và \(\left( {ABN} \right)\).

Tam giác \(DMC\) có \(MN\) và \(DP\) là hai đường trung tuyến nên giao điểm \(I\) là trọng tâm \(\Delta DMC.\)

Tam giác \(ABD\) đều cạnh bằng 12 và có \(DM\) là đường cao nên \(DM = 12.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \).

Tương tự ta có \(CM = 6\sqrt 3 \).

Do đó tam giác \(DMC\) cân tại \(M\). Suy ra \(MN\) cũng là đường cao của tam giác \(DMC\) hay \(MN \bot CD\).

Ta có \(DM = 6\sqrt 3 ,DN = \frac{1}{2}DC = 6\) nên \(MN = \sqrt {D{M^2} - D{N^2}} = 6\sqrt 2 \).

Khi đó \(IN = \frac{1}{3}MN = 2\sqrt 2 .\)

Tam giác \(DNI\) vuông tại \(N\) nên \(DI = \sqrt {D{N^2} + I{N^2}} = 2\sqrt {11} \).

Vậy \(I\) cách điểm \(D\) một khoảng bằng \(2\sqrt {11} \approx 6,63\).