Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng 6. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CA,CB

Đáp án: 8,93.

Theo đề bài ta có tất cả các mặt của tứ diện là tam giác đều có cạnh bằng \(6.\)

Ta có: \(P \in (MNP),P \in BD \subset (ABD) \Rightarrow P \subset (MNP) \cap (ABD).\)

Mặt khác:

Suy ra \((MNP) \cap (ABD) = d\) là đường thẳng qua \(P\) và song song với \(AB\).

Trong mặt phẳng \((ABD),\) gọi \(Q = d \cap AD\). Khi đó, thiết diện cần tính diện tích là tứ giác \(MNPQ.\)

Ta có \(MN\parallel AB,PQ\parallel AB \Rightarrow MN\parallel PQ \Rightarrow MNPQ\) là hình thang.

Mặt khác :

\(MN\parallel AB \Rightarrow AM = BN;PQ\parallel AB \Rightarrow AQ = BP;\widehat {MAQ} = \widehat {NBP} = 60^\circ \Rightarrow MQ = NP\)

Hay \(MNPQ\) là hình thang cân.

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB;H = AE \cap MN,K = DE \cap PQ.\)

Ta có : \(AB \bot AE(HE),AB \bot DE(EK) \Rightarrow AB \bot HK,MN\parallel AB \Rightarrow HK \bot MN\)

\({S_{MNPQ}} = \frac{{MN + PQ}}{2}.HK\)

\(MN = \frac{1}{2}AB = 3;PQ = \frac{1}{3}AB = 2.\)

\(EC = ED = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 ;EH = \frac{1}{2}EC = \frac{{3\sqrt 3 }}{2};EK = \frac{2}{3}ED = 2\sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l}{\rm{ }}H{K^2} = E{H^2} + E{K^2} - 2EH.EK.\cos \widehat {CED}\\ & = E{H^2} + E{K^2} - 2EH.EK.\frac{{E{C^2} + E{D^2} - C{D^2}}}{{2EC.ED}} = \frac{{51}}{4}.\\ \Rightarrow HK = \frac{{\sqrt {51} }}{2}\end{array}\)

Vậy \({S_{MNPQ}} = \frac{{3 + 2}}{2}.\frac{{\sqrt {51} }}{2} = \frac{{5\sqrt {51} }}{4} \approx 8,93.\)