Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), biết AC = AD = 4 cm, AB = 3 cm, BC = 5 cm. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

72/235

Cho hình tứ diện $ABCD$ có $AD$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, biết $AC = AD = 4{\rm{cm}}$, $AB = 3{\rm{cm}}$, $BC = 5{\rm{cm}}$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$.

$\frac{{6\sqrt {34} }}{{17}}$.

$\frac{{3\sqrt {34} }}{{17}}$.

$\frac{{4\sqrt {34} }}{{17}}$.

$\frac{{8\sqrt {34} }}{{17}}$.

Giải thích

Phương pháp giải:

Trong tam giác $ABC$ kẻ $AE \bot BC$ và trong tam giác $ADE$ kẻ $AH \bot DE$.

$d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = AH$

Giải chi tiết:

$Phương pháp giải: \({\rm{cos}}\l (ảnh 1)$

Ta có $A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = {5^2} = B{C^2}$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau tại $A$.

Trong tam giác $ABC$ kẻ $AE \bot BC$ và trong tam giác $ADE$ kẻ $AH \bot DE$.

Khi đó $d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = AH$.

Lại có:

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} = \frac{{17}}{{72}} \Rightarrow AH = \frac{{6\sqrt {34} }}{{17}}{\rm{.}}$

Vậy $d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{6\sqrt {34} }}{{17}}$.