Cho hình tứ diện ABCD có , ABC là tam giác vuông tại B. Biết BC = a, AB = a căn bậc hai 3, AD = 3a. Quay các tam giác ABC và ABD (bao gồm cả điểm bên trong hai tam giác)

15/56

Cho hình tứ diện ABCD có AD⊥ABC, ABC là tam giác vuông tại B. Biết BC=a, AB=a3, AD=3a. Quay các tam giác ABC và ABD (bao gồm cả điểm bên trong hai tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được hai khối tròn xoay. Thể tích phần chung của hai khối tròn xoay đó bằng:

33πa316

83πa33

53πa316

43πa316

Giải thích

Chọn A Cho hình tứ diện ABCD có , ABC là tam giác vuông tại B. Biết BC = a, AB = a căn bậc hai 3, AD = 3a. Quay các tam giác ABC và ABD (bao gồm cả điểm bên trong hai tam giác) (ảnh 1)

Khi quay tam giác ABD quanh AB ta được khối nón đỉnh B có đường cao BA, đáy là đường tròn bán kính AE = 3cm. Gọi I=AC∩BE, IH⊥AB, tại H.

Phần chung của 2 khối nón khi quay tam giác ABC và tam giác ABD quanh AB là 2 khối nón đỉnh A và đỉnh B có đáy là đường tròn bán kính IH.

Ta có ΔIBC đồng dạng với ΔIEA⇒ICIA=BCAE=13⇒IA=3IC

Mặt khác IH // BC⇒AHAB=IHBC=AIAC=34⇒IH=34BC=3a4

Gọi V1; V2 lần lượt là thể tích của khối nón đỉnh A và B có đáy là hình tròn tâm H.

V1=13πIH2.AH; V2=13πIH2.BH⇒V=V1+V2⇒V=π3IH2.AB⇒V=π3.9a216.a3⇒V=3a3316π