Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 4. ˆ ABC = 120 ∘ . Tính −−→ AC . −−→ AD :

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có hình vẽ sau:

Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\) tại \(O\)

⇒ \(\widehat {ABO} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \frac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \) (tính chất hình thoi)

Xét tam giác \(ABO\) vuông tại \(O\), có:

\(AO = \sin \widehat {ABO}.AB = \sin 60^\circ .4 = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.4 = 2\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow AC = 2AO = 2.2\sqrt 3 = 4\sqrt 3 \)

Ta có: \(\widehat {BAD} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {DAC} = 30^\circ \)

Khi đó: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right) = 4\sqrt 3 .4.{\rm{cos}}30^\circ = 24\).