Cho hình thang vuông ABCD đường cao AB = h , cạnh đáy AD = a , BC = b . Tìm điều kiện giữa a , b , h để a) AC và DB vuông góc.
a) Ta có: \[AC \bot DB \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\]
\[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\]
\[ = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} - A{B^2} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} \]
Ta lại có: \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\]
Và \[A{B^2} = {h^2},\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AD} = BC \cdot AD = ab\] .
Do đó, \[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0 - {h^2} + ab - 0 = ab - {h^2}\].
Vậy \[\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow ab - {h^2} = 0\].
b) Vì \(I\) là trung điểm \(CD\) nên \[\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\] và \[\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right)\].
Khi đó ta có: \[\widehat {AIB} = 90^\circ \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} \cdot \overrightarrow {BI} = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\]
Mà \[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + {\overrightarrow {BC} ^2} = 0 + B{C^2} = {b^2}\]; \[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = ab - {h^2}\];
\[\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} = AD \cdot BC = ab\]; AD→⋅BD→=AD→BA→+AD→=AD→⋅BA→+AD→2=0+AD2=a2
Do đó, ta có: \[\widehat {AIB} = 90^\circ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {h^2} + 2ab = 0 \Leftrightarrow a + b = h.\]