Cho hình thang vuông ABCD đường cao AB = h , cạnh đáy AD = a , BC = b . Tìm điều kiện giữa a , b , h để a) AC và DB vuông góc.

a) Ta có: \[AC \bot DB \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\]

\[\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  - A{B^2} + \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AB} \]

Ta lại có: \[\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 0\]

Và \[A{B^2} = {h^2},\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AD}  = BC \cdot AD = ab\] .

Do đó, \[\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0 - {h^2} + ab - 0 = ab - {h^2}\].

Vậy \[\overrightarrow {AC}  \bot \overrightarrow {BD}  \Leftrightarrow ab - {h^2} = 0\].

b) Vì \(I\) là trung điểm \(CD\) nên \[\overrightarrow {AI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\] và \[\overrightarrow {BI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} } \right)\].

Khi đó ta có: \[\widehat {AIB} = 90^\circ  \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {BI}  = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} } \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\]

Mà \[\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + {\overrightarrow {BC} ^2} = 0 + B{C^2} = {b^2}\]; \[\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = ab - {h^2}\];

\[\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BC}  = AD \cdot BC = ab\]; \[\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD} \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BA}  + {\overrightarrow {AD} ^2} = 0 + A{D^2} = {a^2}\].

Do đó, ta có: \[\widehat {AIB} = 90^\circ  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {h^2} + 2ab = 0 \Leftrightarrow a + b = h.\]