Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB = 2a, các cạnh đáy AD = a và BC = 3a. Gọi M là điểm trên đoạn AC sao cho vecto AM = k vecto AC. Tìm k để BM vuông góc CD

58/84

Cho hình thang vuông \(ABCD\) có đường cao \(AB = 2a\), các cạnh đáy \(AD = a\) và \(BC = 3a\). Gọi \(M\) là điểm trên đoạn \(AC\) sao cho \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AC} \). Tìm \(k\) để \(BM \bot CD\).

\[\frac{4}{9}\].

\[\frac{3}{7}\].

\[\frac{1}{3}\].

\[\frac{2}{5}\].

Giải thích

Lời giải

Chọn D.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm \(B\), điểm \(A\) thuộc trục \(Oy\) và điểm \(C\) thuộc trục \[Ox\].

Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB = 2a, các cạnh đáy AD = a và BC = 3a. Gọi M là điểm trên đoạn AC sao cho vecto AM = k vecto AC. Tìm k để BM vuông góc CD (ảnh 1)

Theo bài ra ta có \(B(0;0),{\rm{ }}A(0;2),{\rm{ }}C(3;0),{\rm{ }}D(1;2)\). Khi đó \(\overrightarrow {AC} = (3; - 2)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(AC\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t}\\{y = 2 - 2t}\end{array}} \right.\).

Gọi \(M \in AC \Rightarrow M(3t;2 - 2t)\). Ta có \(\overrightarrow {BM} = (3t;2 - 2t)\) và \(\overrightarrow {DC} = (2; - 2)\).

Để \(BM \bot DC\) thì \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {DC} = 0 \Leftrightarrow 6t - 4 + 4t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{5}\)\( \Rightarrow M\left( {\frac{6}{5};\frac{6}{5}} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \left( {\frac{6}{5};\frac{{ - 4}}{5}} \right) \Rightarrow AM = \frac{{\sqrt {52} }}{5}\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 2} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {13} \).

Vì \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AC} \) cùng chiều \( \Rightarrow k = \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {52} }}{{5\sqrt {13} }} = \frac{2}{5}\).