Cho hình thang vuông ABCD    có AB = 4 cm, BC = 13 cm, CD = 9 cm.

Kẻ BH vuông góc với CD tại H, gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC, kẻ IK vuông góc với AD tại K, gọi M là giao điểm của IK và BH.

Do IK ⊥ AD nênAKI^=IKD^=90°.

ABCD là hình thang vuông có A^=D^=90° nên AB ⊥AD, CD ⊥AD.

Mà IK ⊥ AD nên IK // AB // CD.

Lại có BH ⊥ CD nên BH ⊥ IK tại M.

Tứ giác ABHD có A^=D^=H^=90°, suy ra ABHD là hình chữ nhật.

Tứ giác ABMK có A^=K^=M^=90°, suy ra ABMK là hình chữ nhật.

a) Do tứ giác ABHD là hình chữ nhật nên AD = BH và DH = AB = 4 cm.

Ta có: CH=CD‒DH=9 – 4 = 5 cm.

Xét ∆BCH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có: BC² = BH² + CH²

Suy ra BH=BC2−CH2=132−52=144=12  cm

Vậy AD=BH = 12 cm.

b) Ta có đường tròn đường kính BC có tâm I và bán kính R=BC2=6,5 cm.

Khoảng cách từ tâm I đến AD là d=IK.

Do tứ giác ABMK là hình chữ nhật nên KM=AB=4 cm.

Xét ∆BCH có I là trung điểm của BC và IM // CH nên IM là đường trung bình của tam giác, do đó IM=12CH=12⋅5=2,5  cm.

Ta có: IK=KM+IM= 4 + 2,5 = 6,5 cm.

Do đó d= IM =R = 6,5 cm.

Vậy đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.