Cho hình thang vuông ABCD (AB // CD, góc A = góc D = 90 độ) có AD = CD = 2AB

a) Chứng minh AE = 2AB và tứ giác AECD là hình vuông.

Vì E là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AE. Do đó, AE = 2AB.

Theo đề bài ta có: AD = CD = 2AB

=> AD = CD = AE.

Vì ABCD là hình thang vuông nên ta có: AB // CDA^=D^=90∘

Xét tứ giác AECD ta có:

AE // CD

AE = CD

=> Tứ giác AECD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Mà ta lại có: AD = AE (chứng minh trên)

=> Tứ giác AECD là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)

Theo giả thiết: A^=D^=90o

Suy ra, tứ giác AECD là hình vuông (dấu hiệu nhận biết)

b) Gọi M là trung điểm của EC và I là giao điểm của BC và DM. Chứng minh diện tích tam giác DIC bằng diện tích tứ giác EBIM.

Vì tứ giác AECD là hình vuông nên AE = CE = CD = DA (định nghĩa hình vuông)

Vì M là trung điểm của EC nên EM = CM =CE2.

Mà BE=AE2 và AE = CE (chứng minh trên).

=> BE = CM

Ta có: SBEC=12.BE.CESDCM=12.CM.DC⇒SBEC=SDCM

⇒SBEMI+SCMI=SDCI+SCMI

⇒SBEMI=SDCI (đpcm)

c) Biết DA và CB cắt nhau tại V. Gọi N là hình chiếu của I trên AD. Chứng minh NI2=ND.NV.

Xét tam giác BEC và tam giác MCD ta có:

BE = MC (cmt)

BEC^=MCD^=90∘

EC = CE (cmt)

⇒ΔBEC=ΔMCD (c-g-c)

⇒BCE^=MDC^ (hai góc tương ứng)

Ta có: BCE^+BCD¯=90∘⇒MDC^+BCD^=90∘

Xét tam giác DIC ta có: IDC^+DCI^=90∘⇒DIC^=90∘ (áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác)

=> DI vuông góc với BC tại I.

Xét tam giác DNI vuông tại N, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

ID2=IN2+ND2⇒ND2=ID2−IN2       

Xét tam giác VNI vuông tại N, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

IV2=IN2+NV2⇒NV2=IV2−IN2 

Xét tam giác DVI vuông tại I, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

ID2+IV2=DV2

⇒ID2+IV2=VN+ND2

⇒ID2+IV2=VN2+2VN.ND+ND2

⇒ID2+IV2=IV2−IN2+2VN.ND+ID2−IN2

⇒2IN2=2VN.ND

⇒IN2=VN.ND.

Vậy NI2=ND.NV.