Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường f(x) = e^x, y = 0, x = 0, x = ln4. Đường thẳng x = k (0 < k < ln4) chia hình (H) thành hai hình (H1), (H2) có diện tích lần lượt là S1 và S2 như
14/22
Cho hình thang cong \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(f\left( x \right) = {e^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = \ln 4\). Đường thẳng \(x = k{\rm{ }}\left( {0 < k < \ln 4} \right)\) chia hình \(\left( H \right)\) thành hai hình \(\left( {{H_1}} \right)\), \(\left( {{H_2}} \right)\) có diện tích lần lượt là \({S_1}\) và \({S_2}\) như hình vẽ bên. Với \(\left( {{H_1}} \right)\) là hình gồm những điểm có hoành độ nhỏ hơn \(k\), \(\left( {{H_2}} \right)\) là hình gồm những điểm có hoành độ lớn hơn \(k\). 
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} > 0{\rm{ }}\forall a,b \in \mathbb{R}\).
Để \({S_1} = 2{S_2}\) thì \(k = \ln 3\).
Nếu quay hình phẳng \(\left( H \right)\) quanh trục hoành thì thể tích khối tròn xoay thu được là \(24\) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Nếu quay hình phẳng \(\left( H \right)\) quanh trục tung thì thể tích khối tròn xoay thu được là \(15,8\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
a) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} > 0{\rm{ }}\forall a,b \in \mathbb{R}\) sai trong trường hợp \(a \ge b\).
Chọn Sai.
b) Diện tích \({S_1} = \int\limits_0^k {{e^x}dx} \) và diện tích \({S_2} = \int\limits_k^{\ln 4} {{e^x}dx} \).
Thay \(k = \ln 3\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_1} = 2\\{S_2} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {S_1} = 2{S_2}\)
Chọn Đúng.
c) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) là: \(V = \pi \int\limits_0^{\ln 4} {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}dx} \approx 24\).
Chọn Đúng.
d) Để quay quanh trục \(Oy\), ta biến đổi các hàm số ban đầu như sau:
.
\(x = \ln 4 \Rightarrow y = 4\).
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục \(Oy\) là:
\(V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\ln 4} \right)}^2}dy} - \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {\ln y} \right)}^2}dy} \approx 15,992\)
Chọn Sai.