Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có \[AB = 6a, AD = CD = 1/2 AB

93/234

Cho hình thang ABCD vuông tại $A$ và $D$ có \[AB = 6a,\quad AD = CD = \frac{1}{2}AB.\]

Điểm $M$ thuộc cạnh AD sao cho \[AM = \frac{1}{3}AD.\]

Tính \[T = \left( {\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {BD} } \right).\]

$T = 27a$

$T = \frac{1}{{27}}a$

$T = 27{a^2}$

$T = \frac{1}{{27}}{a^2}$

Giải thích

Phương pháp giải:

Chèn điểm vào vectơ và sử dụng tính chất tích vô hướng.

Giải chi tiết:

Vì $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ nên:

\[AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0.\]

Ta có:

\[T = (\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} ) \cdot (\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {BD} ).\]

Biến đổi:

\[T = [(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} ) + 2(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} )] \cdot (\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} ) = (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {DC} ) \cdot \overrightarrow {CB} .\]

Do:

\[\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} ,\quad \overrightarrow {MD} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} ,\quad \overrightarrow {DC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} ,\]

nên:

\[T = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right) \cdot (\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} ) = (2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right).\]

Suy ra:

\[T = A{B^2} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - A{D^2} = A{B^2} - A{D^2}.\]

Vì:

\[AB = 6a,\quad AD = \frac{1}{2}AB = 3a,\]

nên:

\[T = {(6a)^2} - {(3a)^2} = 36{a^2} - 9{a^2} = 27{a^2}.\]

Vậy $T = 27{a^2}$. Chọn C.